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一道八股文似的PSAT数学题联想

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发表于 2018-1-27 02:21:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 DrTim 于 2018-1-27 02:35 AM 编辑

最近我在群里发了一篇关于一道古怪的PSAT数学题的短文。后来我将同样的题目发到我参与的一个数学高手、大师云集的论坛与网友调侃。下面便是咱的回应和联想。

首先,谢谢大家积极参与和发言!正确答案是 "B"。正如我在线头上说的,这是一道"八股文"似的题目。数学功底厚的人都能看出出这道题的人不是很"专业"。真正的数学家不会出这类低水平、搅混水的题目(除非他出题时在smoking weed and drinking bourbon –high and drunk) 。意外结果就是它"赤裸裸"地反映了一个真理 -- "淹死的都是好水性"(当然也有例外,傻头傻脑、喜欢铤而走险的不会水的也会淹死)。据我观察(不是在这条线上),数学懂得越少的,选答案选得就越快,题目一扫,一句"WTF", 立马勾一个答案(而且选的的确是"B"!,Why? because it factors and looks neat!)。而那些数学好的尝试者的反应是 "W….T.…F….", 然后就是抓头皮,脑子里装着N个不停地转的可能性,拼命地往牛角尖里钻,觉得"A不错,B也行",卡住了。其实,一旦你忽视了某个不经眼的细节你就完全可能因钻牛角尖而做无用功,浪费时间。这条线上,大家都讲得有道理,不足的是要么是"火候不够",要么是"矫枉过正"。我个人认为,最接近完整答案的是网友W。可惜W 没有给足解释。解这道题的关键字是"Display"。这正是W 提到的。网友Q也第一个提到了。其次是among those displayed, what are you looking for? 这个关键问题至今没有一个人完整答对或明显地答出。网友F说的factoring 只是解答这道题的一部分,光用它作为理由选答案"B"只是"蒙对了", 这是绝大部分美国学生不求甚解的通病。大家正确地指出这道题里的有理函数 f(x) 的 domain 是 {x∈R: x ≠ -2 and x ≠ 1},题目要求在f(x) 里“寻找”它的"补集",也 就是 {x: x=-2 and x=1}。如果你用图案来代表他们,比如 an apple for -2 and an orange for 1, 你就会发现只有答案"B"满足这个组合,它分子里有一个 apple, 分母里有一个 orange。In "A", you see two apples, but you can't (explicitly) find any oranges, although quite a few oranges are implied (hidden) in it. 咱说过,这道题"与其说是数学题(简单得就像小学生的考题),不如说是 Reading Comprehension(阅读理解)的题目" 就是这个道理。


F 网友说得对,美国学生学习内容和思考方式(对与错需另当别论),与中国教育体系有很大不同。这也是我历年来辅导自己和别人的孩子的时候体会到的。美国孩子更倾向感性,他们的数学课本往往是重重的、厚厚的上千页的硬封面的 8x11 "砖头" (怪不得他们在学校得有自己的lockers),其中彩色字体和插图特别多。他们还学概率论和统计(尤其是AP programs)。集合论术语也用得特别普遍。选学内容里甚至出现fractal数学。中国的数学课本(尤其是以前的)看重的则是理性思维,在尺寸和重量上也只是轻轻的、薄薄的一、两百页而已,插图较少,更不用说现实生活里的照片了(excuse: 咱国家穷啊)。而且以前(至少咱们上中学那年代)课本里没有概率论和统计的内容。不知现在国内的中学教学大纲怎样。

举个现实的例子,咱儿子填SuDoKu游戏的方式和方法与我完全不一样,实在令我吃惊。当然,这小子挺聪明,正如我曾经在这个论坛上报过喜那样,他SAT数学考了满分,高中毕业后也去了MIT。他只申请了这一所学校,没有申请别的学校作back up。但是还是幸运地被MIT EA录取了。当时其自信心之高实在令咱心惊胆颤!他说MIT staff 来他学校interview的时候他就已经感觉到会被MIT录取,所以没必要申请别的学校。令咱自豪、放心的是,尽管MIT学生竞争很激烈,至今他仍然是个party all the time, 各门功课保持全A的学生(当然,咱在MIT也保持了毕业时各门功课得A的战绩,区别是咱不party,只玩电脑、看电影)。

值得一提的是,在我的记忆里,中国的教育体系是学生一学期扎扎实实地学某些内容,学完后便置之不理,直到高考时才会再碰到它们。就是说,学生每学期、每年"吃"的都是新鲜饭。一吃就吃个够。美国学生却不一样,他们每年级课本包括的大概内容都差不多(甚至高中各年级用的是同一本课本!),只是随着年级的升高,具体内容的难度循序渐进而已,所以他们"吃"的都是"leftover",只是"每顿"炒剩饭时加点新调料,味道变得"重"、"好"一点而已。不过咱不得不佩服,美国高中AP 数学不比中国高中重点班学生的数学水平和难度低(我在辅导他们SAT数学和 AP Calculus、Statistics等科目时观察到)。而且也许大家都已经观察到了,近来美国学生参加国际数学比赛的竞争力和得奖数在与日俱增,甚至出现排名和得奖数超过中国、俄罗斯和其他亚洲及东欧国家的学生的案例(当然美国队队员里有不少华裔后代)。也许十年后,甚至更快地,在国际高中数学和其他STEM项目竞争中会出现三足鼎立的局面。

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